如图，△ABC 是等边三角形，点 D 是射线 BA 上的一动点（不与点A，B重合），连接 CD，在 CD 的右侧以 CD 为斜边作 Rt△CDE，且 ∠CDE = 60°，EF//AC 交 AB 于点 F，若 AC = 2，∠BDE = 45°，请直接写出 EF 的长.

分析

因为 D 是动点，所以需要分类谈论. 当一个角的度数和一边的方向确定时，另一边有两种情况，分别位于第一个边的两侧. 因此问题分成两种情况进行讨论.

第一种情况，画图并解决问题

（1）当点E位于直线AB的上方时，如下图所示

一、确定目标，简记或标注已知条件

① 等边三角形的边相等、角相等，每个角都等于60°；

② 两直线平行，同位角相等.

二、结合基本几何模型和已知条件，设元、计算，寻找并标注等角、等线段，特殊角、比例线段

① 三角形的外角等于于它不相邻的两个内角的和；

② 等量减等量，差相等.

三、添加辅助线，构造基本几何模型

当一个三角形的一边已知、两角为特殊角时，借助直角三角形的三边比和勾股定理，可以求出另两边的长.

如图，过点D作DH垂直AC，H为垂足，获得一个等腰直角三角形和一个含有60°角的直角三角形.

① 60°角所对的直角边是30°角所对的直角边的倍；

② 等腰直角三角形，斜边是直角边的倍；

③ 30°角所对的直角边等于斜边的一半.

当一个三角形的一边已知、两角为特殊角时，借助直角三角形的三边比和勾股定理，可以求出另两边的长.

如图，过点E作EM⊥AB，M是垂足，获得一个等腰直角三角形和一个含有60°角的直角三角形.

① 等腰直角三角形，直角边是斜边的倍；

② 斜边是60°角所对直角边的倍.

第二种情况，画图并解决问题

（2）当点E位于直线AB的下方时，如下图所示

一、确定目标，简记或标注已知条件

① 等边三角形的边相等、角相等，每个角都等于60°；

二、结合基本几何模型和已知条件，设元、计算，寻找并标注等角、等线段，特殊角、比例线段

① 直角三角形的两个锐角互余；

②对顶角相等.

三、添加辅助线，构造基本几何模型

当一个三角形的一边已知、两角为特殊角时，借助直角三角形的三边比和勾股定理，可以求出另两边的长.

如图，过点C作CH垂直AB，H为垂足，获得一个等腰直角三角形和一个含有60°角的直角三角形.

设CE交AB于点M.

① 60°角所对的直角边是斜边的倍；

② 等腰直角三角形，斜边是直角边的倍；

① 60°角所对的直角边等于30°角所对的直角边的倍.

① 平行相似；

② 相似三角形，对应边成比例.

综上所述：EF=，或 EF=.

基本几何模型

1. 角平分线；
2. 线段垂直平分线
3. 平行线；
4. 三角形；
5. 直角三角形；
6. 等腰三角形；
7. 全等三角形；
8. 相似三角形；
9. 平行四边形；
10. 圆.