下文自北京市十一学校数学建模协会，[遇见] 授权转发

问题背景

　　在18世纪的法国，有一位博物学家、数学家，叫布丰。

　　咱们的小学课文《松鼠》便出自他笔下；他还写了巨著《自然史》……但是咱们今天要说的，是他提出的一个数学问题——“布丰投针问题”。

　　布丰投针问题：设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板，随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。

　　布丰以此概率提出了计算圆周率的新方法：随机投针法。

　　不知道你现在的心情是不是这样：

　　反正我是。

　　随便往地板上扔针，竟然能算出圆周率？？？这两件事，有一点点的关系么？……

　　显然，这东西是能被严谨证明的（要不然，我为啥拿出来发公众号）。证明过程请看下文——

数学原理

　　方法一

　　在上图中，如果点代表针的中点，直线是平行线中的一条的话，针所有可能的位置（无论相交与不相交）便组成了下图这个圆。其中，针与平行线相交的所有位置组成的图形就是阴影部分。

　　两侧完全对称，因此只取半圆考虑即可。

　　针所有可能的位置是不随针中点与平行线距离的改变而改变的。因此，当考虑 y 的变化时，针所有可能的位置情况组成一个底为 S1，高为 d/2 的半圆柱。

　　针与平行线相交的所有可能位置随y变化而变化，因而组成如下图形。

　　取 V2 的一块微元（体积的微分）：

　　如果你看完之后是这个情况：

　　先别走，考虑看看方法二吧，它比方法一简单那么一点点。

方法二　　

　　为了方便分析，取平面内一个结构单位，该结构单位由某条平行线的某部分和一根针组成。

　　如图，由于y可以取0到d/2的任何数，因此针中点的所有可能性（所有y）构成长为d/2的线段。随着θ的变化，该可能性并不会变化，因此所有可能性形成面积为的粉色矩形。易得：

　　当针中点的位置满足其与平行线相交时，其可能的值为小于等于l/2sinθ 的所有值。随着θ的变化，该可能性变化，因此所有可能性形成面积为S2的蓝色图形。

计算机模拟实验

　　经过一大串证明后，咱们就来自己投针试试。

　　为此，我编了个Python程序，可以模拟随机投针的过程，还能生成图像！（感谢信息技术考学让我学会用turtle模块画图……）

　　于是，我先做了6次扔100根针的实验。针的长度为40，平行线间距为50。即在这个实验中，l=40，n=100，d=50。结果如下：（π的计算精度取小数点后两位）

　　啊这……好像并不是很准。这是由于只有100根针，随机总量不够大。

　　并且话说回来，计算机这么厉害的工具，只让它模拟100根针显然屈才。因此，我打算好好压榨利用它，让它进行了500次扔一百万根针的模拟。

　　100万根针不方便生成图像，列举数据也是既麻烦又不直观的，所以我把输出的值做了个散点图：

　　可见结果与 π 已经相当接近了。

总结

　　该方法之所以可以估算π值，是因为进行了转化、变换得到的等式中带有π。

　　例如，方法二中π的来自于 S1，更本质地说，是来自于针与平行线夹角的积分上限（范围）。实际上这个 π 是从角度中得到。

　　由这个思路，我们或许可以想出更多估算值的方法——构造等量关系，并使等量关系中带有 π。而构造出的一个很好的思路便是使角度成为一个决定性的量。